Du har mest sannsynlig møtt ensidige gjenstander hundrevis av ganger i hverdagen din - som det universelle symbolet for gjenvinning, funnet på baksiden av aluminiumsbokser og plastflasker.
Dette matematiske objektet kalles en Mobius-stripe. Det har fascinert miljøvernere, kunstnere, ingeniører, matematikere og mange andre helt siden oppdagelsen i 1858 av August Möbius, en tysk matematiker som døde for 150 år siden, 26. september 1868.
Möbius oppdaget den ensidige stripen i 1858 mens han fungerte som styreleder for astronomi og høyere mekanikk ved Universitetet i Leipzig. (En annen matematiker ved navn Listing beskrev det faktisk noen måneder tidligere, men publiserte ikke arbeidet før 1861.) Möbius ser ut til å ha støtt på Möbius-stripen mens han arbeidet med den geometriske teorien om polyhedra, solide figurer sammensatt av toppunkt, kanter og flate ansikter .
En Möbius-stripe kan opprettes ved å ta en papirstrimmel, gi den et ulikt antall halvvridninger, og deretter tape endene sammen igjen for å danne en løkke. Hvis du tar en blyant og tegner en strek langs midten av stripen, vil du se at linjen tilsynelatende går langs begge sider av løkken.
Konseptet med et ensidig objekt inspirerte kunstnere som den nederlandske grafiske designeren MC Escher, hvis tresnitt “Möbius Strip II” viser røde maur som kryper etter hverandre langs en Möbius-stripe.
Möbius-stripen har mer enn bare en overraskende egenskap. For eksempel kan du prøve å ta en saks og klippe stripen i to langs linjen du nettopp tegnet. Du kan bli overrasket over å finne at du ikke sitter igjen med to mindre ensidige Möbius-strimler, men i stedet med en lang tosidig løkke. Hvis du ikke har et stykke papir for hånden, viser Eschers tresnitt "Möbius Strip I" hva som skjer når en Möbius-stripe skjæres langs midtlinjen.
Mens stripen absolutt har visuell appell, har den største innflytelsen vært i matematikk, der den bidro til å stimulere til utviklingen av et helt felt som heter topologi.
En topolog studerer egenskaper til gjenstander som er bevart når de beveges, bøyes, strekkes eller vris, uten å kutte eller lime deler sammen. For eksempel er et sammenfiltret øreplugg i en topologisk forstand det samme som et ustablet par ørepropper, fordi det å endre det ene til det andre bare krever bevegelse, bøying og vridning. Ingen kutting eller liming er nødvendig for å transformere mellom dem.
Et annet par gjenstander som er topologisk det samme, er en kaffekopp og en smultring. Fordi begge gjenstandene har bare ett hull, kan den ene deformeres til den andre ved bare å strekke og bøye seg.
En krus forvandles til en smultring. (Wikimedia Commons) Antall hull i en gjenstand er en egenskap som bare kan endres ved kutting eller liming. Denne egenskapen - kalt "slekten" til et objekt - gjør det mulig for oss å si at et par ørepropper og en smultring er topologisk forskjellig, siden en smultring har ett hull, mens et par ørepropper ikke har hull.
Dessverre ser det ut til at en Möbius-stripe og en tosidig løkke, som et typisk armbånd for silikonbevissthet, har ett hull, så denne egenskapen er utilstrekkelig til å skille dem fra hverandre - i det minste fra en topologs synspunkt.
I stedet kalles egenskapen som skiller en Möbius-stripe fra en tosidig sløyfe orienteringsevne. I likhet med antall hull, kan objektets orienteringsevne bare endres ved kutting eller liming.
Se for deg å skrive deg en lapp på en gjennomsiktig overflate, og ta deg en tur rundt på den overflaten. Overflaten er orienterbar hvis du alltid kan lese notatet når du kommer tilbake fra turen. På en ikke-orienterbar overflate kan du komme tilbake fra turen bare for å finne at ordene du skrev tilsynelatende har blitt til speilbildet og bare kan leses fra høyre til venstre. På den tosidige sløyfen vil notatet alltid lese fra venstre til høyre, uansett hvor reisen tok deg.
Siden Möbius-stripen ikke kan orienteres, mens den tosidige sløyfen er orienterbar, betyr det at Möbius-stripen og den tosidige sløyfen er topologisk forskjellige.
(Laget av David Gunderman) Når GIF starter, er prikkene oppført med urviseren svarte, blå og røde. Imidlertid kan vi flytte trepunktskonfigurasjonen rundt Möbius-stripen slik at figuren er på samme sted, men fargene på prikkene som er oppført med klokken er nå røde, blå og svarte. På en eller annen måte har konfigurasjonen omgjort til sitt eget speilbilde, men alt vi har gjort er å flytte den rundt på overflaten. Denne transformasjonen er umulig på en orienterbar overflate som den tosidige sløyfen.
Orienteringsbegrepet har viktige implikasjoner. Ta enantiomerer. Disse kjemiske forbindelsene har de samme kjemiske strukturene bortsett fra én nøkkelforskjell: De er speilbilder av hverandre. For eksempel er den kjemiske L-metamfetamin en ingrediens i Vicks Vapor Inhalers. Dets speilbilde, D-metamfetamin, er et ulovlig stoff i klasse A. Hvis vi levde i en ikke-orienterbar verden, ville disse kjemikaliene kunne skilles fra hverandre.
August Möbius oppdagelse åpnet nye måter å studere den naturlige verden på. Studien av topologi gir fortsatt fantastiske resultater. I fjor førte for eksempel topologi forskere til å oppdage rare nye tilstander. Årets Fields Medal, den høyeste æren i matematikk, ble tildelt Akshay Venkatesh, en matematiker som bidro til å integrere topologi med andre felt som tallteori.
Denne artikkelen ble opprinnelig publisert på The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. student i anvendt matematikk, University of Colorado og Richard Gunderman, kanslerprofessor i medisin, liberal kunst og filantropi, Indiana University
