En snørik januardag ba jeg et klasserom med studenter om å fortelle meg det første ordet som kom til tankene da de tenkte på matematikk. De to øverste ordene var "beregning" og "ligning."
Da jeg spurte et rom med profesjonelle matematikere det samme spørsmålet, ble ingen av disse ordene nevnt; i stedet tilbød de setninger som "kritisk tenking" og "problemløsing."
Dette er dessverre vanlig. Hva profesjonelle matematikere tenker på som matematikk er helt forskjellig fra hva befolkningen generelt tenker på som matematikk. Når så mange beskriver matematikk som synonymt med beregning, er det ikke rart at vi hører “Jeg hater matematikk” så ofte.
Så jeg siktet meg til å løse dette problemet på en litt ukonvensjonell måte. Jeg bestemte meg for å tilby en klasse kalt “The Mathematics of Knitting” på institusjonen min, Carthage College. I den valgte jeg å eliminere blyant, papir, kalkulator (gispe) og lærebok helt fra klasserommet. I stedet snakket vi, brukte hendene, tegnet bilder og lekte med alt fra strandballer til målebånd. For lekser gjenspeiles vi ved å blogge. Og selvfølgelig strikker vi.
Samme, men annerledes
Én hoveddel av matematisk innhold er ligningen, og avgjørende for dette er likhetstegnet. En ligning som x = 5 forteller oss at den fryktede x, som representerer en viss mengde, har samme verdi som 5. Tallet 5 og verdien til x må være nøyaktig det samme.
Et typisk likhetstegn er veldig strengt. Ethvert lite avvik fra "nøyaktig" betyr at to ting ikke er like. Imidlertid er det mange ganger i livet der to mengder ikke er nøyaktig de samme, men egentlig er de samme etter noen meningsfulle kriterier.
Se for eksempel at du har to firkantede puter. Den første er rød på toppen, gul til høyre, grønn på bunnen og blå til venstre. Den andre er gul på toppen, grønn til høyre, blå på bunnen og rød på venstre.
Putene er ikke helt de samme. Den ene har en rød topp, mens den ene har en gul topp. Men de er absolutt like. Faktisk ville de være nøyaktig de samme hvis du snudde puten med den røde toppen en gang mot klokken.
Roterende to firkantede puter (Sara Jensen) Hvor mange forskjellige måter kunne jeg legge den samme puten ned på en seng, men få den til å se ut som en annen? Et lite lekser viser at det er 24 mulige fargede kastepute-konfigurasjoner, selv om bare åtte av dem kan fås ved å flytte en gitt pute.
Studentene demonstrerte dette ved å strikke kasteputer, bestående av to farger, fra strikkediagrammer.
Et strikkediagram for en kastepute (Sara Jensen) Studentene laget firkantede strikkediagrammer der alle åtte bevegelser i diagrammet resulterte i et annerledes utseende. Disse ble så strikket inn i en kastepute hvor ekvivalensen til bildene kunne demonstreres ved å faktisk flytte puten.
Gummiarkets geometri
Et annet tema vi dekket er et emne som noen ganger blir referert til som “gummiarkets geometri.” Tanken er å forestille seg at hele verden er laget av gummi, og deretter gjenkjenne hvordan figurene vil se ut.
La oss prøve å forstå konseptet med strikking. En måte å strikke gjenstander på som er runde - som hatter eller hansker - er med spesielle strikkepinner som kalles dobbeltpinne. Mens den er laget, er hatten formet av tre nåler, slik at den ser trekantet ut. Så når det kommer av nålene, slapper det tøyelige garnet seg ut i en sirkel, og lager en mye mer typisk hatt.
Dette er konseptet som "gummiarkets geometri" prøver å fange opp. På en eller annen måte kan en trekant og en sirkel være den samme hvis de er laget av et fleksibelt materiale. Faktisk blir alle polygoner sirkler i dette studieretningen.
Hvis alle polygoner er sirkler, så hvilke former er det igjen? Det er noen få trekk som kan skille seg selv når objekter er fleksible - for eksempel hvis en form har kanter eller ingen kanter, hull eller ingen hull, vendinger eller ingen vendinger.
Et eksempel fra strikking av noe som ikke tilsvarer en sirkel, er et uendelig skjerf. Hvis du vil lage et papir-uendelig skjerf hjemme, tar du en lang stripe papir og lim de korte kantene sammen ved å feste øverste venstre hjørne i nedre høyre hjørne, og nederste venstre hjørne i øverste høyre hjørne. Deretter tegner du piler som peker oppover hele gjenstanden. Noe kult skal skje.
Studenter på kurset brukte litt tid på å strikke gjenstander, som uendelig skjerf og pannebånd, som var forskjellige, selv når de var laget av fleksibelt materiale. Å legge til markeringer som piler bidro til å visualisere nøyaktig hvordan gjenstandene var forskjellige.
Ulike smaker
Et uendelig skjerf (Carthage College) Hvis tingene som er beskrevet i denne artikkelen ikke høres ut som matte for deg, vil jeg forsterke at de veldig mye er. Fagene som diskuteres her - abstrakt algebra og topologi - er vanligvis forbeholdt matematikkfag i de yngre og eldre årene på college. Likevel er filosofiene til disse fagene veldig tilgjengelige, gitt de rette mediene.
Etter mitt syn er det ingen grunn til at disse forskjellige smakssmakene skal være skjult for publikum eller vektlegges mindre enn vanlig matematikk. Videre har studier vist at bruk av materialer som kan manipuleres fysisk kan forbedre matematisk læring på alle nivåer i studiet.
Hvis flere matematikere klarte å sette av klassiske teknikker, ser det ut til at verden kunne overvinne den rådende misforståelsen om at beregning er den samme som matematikk. Og kanskje bare noen flere mennesker der ute kunne omfatte matematisk tanke; om ikke figurativt, så bokstavelig talt, med en kastepute.
Denne artikkelen ble opprinnelig publisert på The Conversation.
Sara Jensen, adjunkt i matematikk, Carthage College
