Den 20. mars mottok den amerikansk-kanadiske matematikeren Robert Langlands Abelprisen, og feiret livstidsresultat i matematikk. Langlands 'forskning demonstrerte hvordan begreper fra geometri, algebra og analyse kunne bringes sammen ved en felles kobling til primtall.
Når kongen av Norge overrekker utdelingen til Langlands i mai, vil han hedre det siste i et 2.300 år langt forsøk på å forstå primtall, uten tvil det største og eldste datasettet i matematikk. Som en matematiker som er viet til dette “Langlands-programmet”, er jeg fascinert av historien til primtall og hvordan nyere fremskritt erter hemmelighetene deres. Hvorfor har de betatt matematikere i årtusener?
For å studere primater, anstrenger matematikere hele tall gjennom det ene virtuelle nettet etter det andre inntil bare primater er igjen. Denne siktingsprosessen produserte tabeller med millioner av primater på 1800-tallet. Den lar dagens datamaskiner finne milliarder av primeringer på mindre enn et sekund. Men kjerneideen om silen har ikke endret seg på over 2000 år.
"Et primtall er det som måles av enheten alene, " skrev matematiker Euclid i 300 f.Kr. et primtall. Euklid beviste uendeligheten til primer - de fortsetter for alltid - men historien antyder at det var Eratosthenes som ga oss silen til å raskt liste over primene.
Her er ideen om silen. Først skal du filtrere ut multipler på 2, deretter 3, deretter 5 og deretter 7 - de første fire primene. Hvis du gjør dette med alle tallene fra 2 til 100, vil bare primtall være igjen.
Å siktemultipler på 2, 3, 5 og 7 etterlater bare primene mellom 1 og 100. (Med tillatelse fra MH Weissman) Med åtte filtreringstrinn kan man isolere primene opp til 400. Med 168 filtreringstrinn kan man isolere primene opp til 1 million. Det er kraften fra silen til Eratosthenes.
**********
John Pell, en engelsk matematiker som dedikerte seg til å lage tabeller med nyttige tall. Han var motivert for å løse gamle aritmetiske problemer med Diophantos, men også av en personlig søken etter å organisere matematiske sannheter. Takket være hans innsats ble primene opp til 100 000 sirkulert bredt på begynnelsen av 1700-tallet. I 1800 hadde uavhengige prosjekter lagt opp prisene opp til 1 million.
For å automatisere de kjedelige siktetrinnene, brukte en tysk matematiker ved navn Carl Friedrich Hindenburg justerbare glidebrytere for å stemple ut multipler på en hel side av et bord på en gang. En annen lavteknologisk, men effektiv tilnærming brukte sjablonger for å lokalisere multiplene. På midten av 1800-tallet hadde matematiker Jakob Kulik satt i gang med et ambisiøst prosjekt for å finne alle primene opp til 100 millioner.
En sjablong som ble brukt av Kulik for å sile multiplene på 37. AÖAW, Nachlass Kulik, (Bilde med tillatelse fra Denis Roegel, forfatter gitt) Denne "big data" fra 1800-tallet hadde kanskje bare fungert som referansetabell, hvis Carl Friedrich Gauss ikke hadde bestemt seg for å analysere primene for deres egen skyld. Bevæpnet med en liste over primer på opptil 3 millioner, begynte Gauss å telle dem, en "chiliad" eller en gruppe på 1000 enheter om gangen. Han regnet primene opp til 1000, deretter primene mellom 1000 og 2000, deretter mellom 2000 og 3000 og så videre.
Gauss oppdaget at etter hvert som han regnet høyere, blir primene sjeldnere sjeldnere i henhold til en "invers-logg" -lov. Gauss lov viser ikke nøyaktig hvor mange primer det er, men det gir et ganske godt estimat. For eksempel spår loven hans 72 panterom mellom 1.000.000 og 1.001.000. Riktig antall er 75 primes, omtrent en 4 prosent feil.
Et århundre etter Gauss 'første utforskninger, ble loven hans bevist i “primtallsteoremet.” Prosentfeilen nærmer seg null ved større og større områder av primater. Riemann-hypotesen, et prisproblem på en million dollar i dag, beskriver også hvor nøyaktig Gauss 'estimat egentlig er.
Primtallsteoremet og Riemann-hypotesen får oppmerksomheten og pengene, men begge fulgte opp tidligere, mindre glamorøs dataanalyse.
.....
I dag kommer datasettene våre fra dataprogrammer snarere enn håndskårne sjablonger, men matematikere finner fremdeles nye mønstre i primer.
Bortsett fra 2 og 5, ender alle primtall på sifferet 1, 3, 7 eller 9. På 1800-tallet ble det bevist at disse mulige siste sifrene er like hyppige. Med andre ord, hvis du ser på primettene opp til en million, slutter omtrent 25 prosent på 1, 25 prosent slutter på 3, 25 prosent slutter på 7 og 25 prosent slutter på 9.
For noen år siden ble Stanford nummerteoretikere Lemke Oliver og Kannan Soundararajan fanget av vakt av quirks i de siste sifrene på primettene. Et eksperiment så på det siste sifferet i en prim, så vel som det siste sifferet til den aller neste primen. For eksempel er den neste fyrsten etter 23 29: Man ser en 3 og deretter en 9 i de siste sifrene. Ser man 3 da 9 oftere enn 3 da 7, blant de siste sifrene av primer?
Hyppigheten av siste-sifrede par, blant suksessive primtall opp til 100 millioner. Matchende farger tilsvarer matchende hull. (MH Weissman, CC BY) Antallteoretikere forventet noe variasjon, men det de fant langt overgikk forventningene. Primes er atskilt med forskjellige hull; for eksempel er 23 seks tall unna 29. Men 3-da-9 primes som 23 og 29 er langt vanligere enn 7-da-3 primer, selv om begge kommer fra et gap på seks.
Matematikere fant snart en sannsynlig forklaring. Men når det gjelder studiet av påfølgende primer, er matematikere (for det meste) begrenset til dataanalyse og overtalelse. Bevis - matematikernes gullstandard for å forklare hvorfor ting er sant - virker tiår unna.
Denne artikkelen ble opprinnelig publisert på The Conversation.
Martin H. Weissman, førsteamanuensis i matematikk, University of California, Santa Cruz
