Når de fleste av oss ser en taffy-trekkende maskin som svever seg bort på en turistisk strandpromenade, tenker vi på søtt, søtt sukker. Jean-Luc Thiffeault tenker på søt, søt matematikk. Som anvendt matematiker ved University of Wisconsin-Madison, er Thiffeault spesielt interessert i hvordan materialer som taffy blandes: I maskinen blir godteriet strukket og brettet om og om igjen for å innlemme luft og utvikle sin lette, seige tekstur. Når det trekkes, blir det opprinnelige rektanglet av taffy strukket mer og mer - lengden vokser eksponentielt med samme forhold hver gang. Det strekkforholdet er det som interesserer Thiffeault.
Relatert innhold
- Smeltetett sjokolade, 3D-trykte gummier og andre fascinerende godteripatenter
Når en person drar taffy, vil de vanligvis ta klumpen med godteri og strekke den over en krok, og bringe de to endene sammen. Så tar de det brettede stykke og strekker det ut over kroken igjen, dobler lengden og så videre. Med andre ord: "Den menneskelige måten å gjøre det på er en multiplikasjonsfaktor på 2, " sier Thiffeault. Mekaniske avtrekkere kan gjøre det bedre, ofte gir større, eksotiske irrasjonelle tall som sine strekkfaktorer.
Det viser seg at taffy pulling kan modelleres av et abstrakt felt av matematikk kjent som topologisk dynamikk, hovedsakelig studiet av langsiktige, store endringer over tid i et matematisk rom. (Hvis ordet topologisk høres kjent ut, var det i nyhetene nylig som en del av årets nobelpris i fysikk.) Den samme matematikken som beskriver taffy-pulling har også mer alvorlige bruksområder: mange industrielle prosesser, inkludert glassblåsing og medisinpreparering, krever tyktflytende væsker som skal blandes på måter som er mer som å trekke taffy enn å røre krem til kaffe. "Hvis du prøver å røre veldig tyktflytende ting, som farmasøytisk industripasta, kan du ikke bare riste dem, " sier Thiffeault. "Det er ikke som å blande maling."
Thiffeault har forstått taffy-pulling som et eksempel på tyktflytende blanding i lang tid, men først nylig har han faktisk sett nærmere på taffy-pullers historie for å avdekke deres matematiske hemmeligheter. Resultatet av denne utflukten til historiske patenter er hans ferske artikkel "En matematisk historie med taffy pullers", publisert på preprint-serveren arXiv i juli.
Et bilde fra et patentmaskinpatent fra 1916 som vises i Thiffeaults studie. Spesielt er området som førte til hans dype dykk med taffy-puller studiet av det som kalles pseudo-Anosov-kartlegginger. Pseudo-Anosov er en fancy måte å beskrive en prosess der en todimensjonal form blir strukket eksponentielt i den ene retningen mens den krymper i den andre. Matematisk er studien av pseudo-Anosov-kartlegginger relativt ny. "På 70- og 80-tallet prøvde folk veldig hardt å finne eksempler, " sier Thiffeault. Ironisk nok var de der hele tiden i patenter for taffeltrekkere. "Fordi matematikere aldri så på denne litteraturen, ville de aldri ha visst at de eksisterte, " sier han.
Mens han kjempet gjennom patenter med taffy-puller, snublet Thiffeault på en juridisk kamp som gikk helt til Høyesterett. I saken i 1921 var Hildreth v. Mastoras hvor stort sett et patent på 1900 for en taffy-puller skulle tolkes. Det vil si: ble en senere modell laget av noen andre bare en mindre forbedring, eller var det en annen enhet? En avgjørende del av argumentet var hvor forskjellig 1900-patentet var fra en forgjenger i 1893 (som sannsynligvis aldri ble produsert). Uttalelsen fra domstolen, forfatter av sjefsjef William Howard Taft, "viser et sterkt grep om topologisk dynamikk, " skriver Thiffeault i sin artikkel.
Retten anerkjente at den tidligere enheten - som bare hadde to kroker - ikke kunne ha strukket taffelen i den eksponentielle grad som kreves for effektiv opprettelse av konfekt. Tafts mening sier:
Med bare to kroker kunne det ikke skje noe godteri, fordi det ikke var noen tredje pinne som skulle engasjere godteriet på nytt mens det ble holdt mellom de to andre pinnene. Bevegelsen av de to pinnene i konsentriske sirkler vil kanskje strekke den noe og røre den, men den ville ikke trekke den i betydningen kunst.
Thiffeault skriver, "Høyesteretts uttalelse viser den grunnleggende innsikten at det kreves minst tre stenger for å produsere en slags rask vekst."
Thiffeault sier at det er to standard taffeltrekkere i bruk i dag, en med tre stenger og en med fire. De har tilfeldigvis samme strekkfaktor. Det er relatert til det såkalte sølvforholdet, 1+ √2, eller omtrent 2.414, en litt mindre lysende fetter av det mer berømte gyldne forholdet.
At de to vanlige taffeltrekkerne strekker seg med sølvforholdet, er interessant fordi sølvforholdet er - i en presis matematisk forstand - optimalt. Imidlertid advarer Thiffeault at det ikke er så lett å rangere forskjellige taffeltrekkere, selv når du kjenner til strekkfaktorene deres: "Det er et eple- og appelsinaspekt som er ganske vanskelig å komme seg rundt, " sier han. En avtrekker kan ha flere stenger og ta lengre tid å gå tilbake til sin opprinnelige tilstand enn en annen, eller det kan kreve mer dreiemoment eller mer komplisert giring. Så selv om matematikk gir en viss innsikt i hvor godt taffy-pullers trekker, forteller den ikke hele historien.
Thiffeaults forskning på taffeltrekkere inspirerte ham og hans studenter Alex Flanagan til å bygge sin egen modell. De ønsket å se om de kunne øke effektiviteten uten å endre girene mye, og endte med å lage en ny 6-stavs-trekker basert på giringen til standard 4-stavtrekker. "Årsaken til at vi klarte det, er at vi har matte nå, " sier Thiffeault. De kunne modellere maskinen mye på datamaskinen og omgå mye prøving og feiling med virkelige fysiske enheter tidligere oppfinnere måtte gjøre. 6-stavsapparatet, som fremdeles bare er en prototype, strekker taffy omtrent dobbelt så mye som standardtrekkerne i hver syklus.
Så langt har ikke taffy-puller-produsentene banket opp døren til Thiffeault for å få råd om å optimalisere designene - Big Taffy er tilsynelatende tilfreds med sin elastiske status quo - men han håper at hans metoder kan ha effekter i andre bransjer. I tillegg til glassblåsing, er et logisk sted for blanding av optimalisering farmasøytisk industri. Tross alt krever miksing av vitaminer og medisiner ekstrem høy kvalitetskontroll: Produsentene er "villige til å betale mye penger for perfekt blanding" fordi de "ikke tåler ett dårlig multivitamin av 1000, " sier Thiffeault. Så en dag kan farmasøyter gi en søt rop til de hengivne taffeltrekkerne i yore.
Så igjen, det kan være litt av en strekk.
